# Das Handbuch zu &kalgebra;

## Einführung

&kalgebra; bietet zahlreiche Möglichkeiten, um alle Arten von mathematischen Operationen auszuführen und deren Ausgaben graphisch darzustellen. Früher war dieses Programm stark an &MathML; ausgerichtet, heute kann es von Personen mit ein wenig mathematischem Verständnis benutzt werden, um sowohl einfache als auch schwierige mathematische Aufgaben zu lösen.

Das Programm bietet folgende Funktionsmerkmale:

- Ein Rechner für die schnelle und leichte Auswertung von mathematischen Funktionen.

- Skript-Fähigkeiten für erweiterte Folgen von Berechnungen.

- Funktionsdefinitionen und automatische Syntax-Vervollständigung

- Kalkülfunktionen einschließlich symbolischer Differentiation, Vektorkalkül und Listenbearbeitung.

- Grafische Darstellung von Funktionen mit der Möglichkeit, mit dem Cursor die Nullstellen zu finden und weitere Arten von Analysen.

- 3D-Grafik zur Visualisierung von dreidimensionalen Funktionen.

- Ein Funktionsverzeichnis für die schnelle Referenz zu allen vorhandenen Funktionen.

Hier sehen Sie ein Bildschirmfoto vom &kalgebra;-Programm:

Hier sehen Sie ein Bildschirmfoto vom &kalgebra;-Hauptfenster &kalgebra;-Hauptfenster

Das Hauptfenster von &kalgebra; besteht aus den Karteikarten Rechner, 2D-Graph, 3D-Graph und Funktionen. Auf jeder Karteikarte befindet sich ein Textfeld zur Eingabe von Funktionen oder Berechnungen und ein Bereich für die Anzeige der Ergebnisse.

Sitzungen können jederzeit mit den Aktionen im Menü Sitzungen verwaltet werden:

&Ctrl; N Sitzung Neu

- Öffnet ein neues &kalgebra;-Hauptfenster

&Ctrl;&Shift; F Sitzung Vollbildmodus

- Schaltet den Vollbildmodus für das &kalgebra;-Fenster ein und aus. Dies kann auch mit dem Knopf rechts oben im &kalgebra;-Fenster ausgeführt werden.

&Ctrl; Q Sitzung Beenden

- Beendet das Programm.

## Syntax

&kalgebra; verwendet eine intuitive algebraische Syntax für die Eingabe von benutzerdefinierten Funktionen, Eine ähnliche Syntax wird für die meisten modernen grafischen Rechner verwendet. In diesem Abschnitt werden alle in &kalgebra; verfügbaren eingebauten Operatoren aufgeführt. Die Syntax von &kalgebra; wurde in Anlehnung an die mathematischen Anwendungen Maxima und Maple entwickelt und sollte daher allen Benutzern dieser Programme vertraut sein.

In &kalgebra; werden die eingegebenen Ausdrücke in &MathML; für das Hintergrundprogramm umgewandelt. Ein grundsätzliches Verständnis der durch &MathML; unterstützten Fähigkeiten ist hilfreich, um die Möglichkeiten von &kalgebra; zu entdecken.

Folgende Operatoren sind in dieser Version enthalten:

- `+ - * /` : Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

- `^, **` : Potenzen, beide Schreibweisen und auch das Unicodezeichen `²` sind erlaubt. Potenzen können auch als Wurzel benutzt werden, zum Beispiel: `a**(1/b)`

- `->` : Lambda-Funktion. Die Möglichkeit, eine oder mehrere freie Variablen zu definieren, die an eine Funktion gebunden werden. Im Ausdruck `length:=(x,y)->(x*x+y*y)^0.5` zum Beispiel wird der Lambda-Operator zur Kennzeichnung benutzt, dass `x` und `y` als gebundene Variablen bei der Funktion „length“ verwendet werden.

- `x=a..b` : Einschränkung eines Wertebereichs (beschränkte Variable mit unterer und oberer Grenze). Die Variable `x` kann in diesem Beispiel nur Werte von `a` bis `b` annehmen.

- `()` : Klammern bestimmen den Vorrang einer auszuführenden Rechenoperation vor anderen in der Rechenreihenfolge.

- `abc(parameter)` : Funktionen. Beim Einlesen von Funktionen wird überprüft, ob `abc` ein Operator ist. Wenn ja, dann wird es als Operator behandelt, ansonsten als benutzerdefinierte Funktion.

- `:=` : Definition des Wertes einer Variablen. Definitionen wie `x:=3`, `x:=y` sind möglich, auch wenn `y` noch nicht definiert ist, oder zum Beispiel `umfang:=r->2*pi*r`.

- `?` : Abschnittsweise definierte Bedingungen. Damit können bedingte Operationen in &kalgebra; definiert werden. Anders ausgedrückt ist das eine Möglichkeit „if, elseif, else“ -Bedingungen zu definieren. Das Ergebnis einer abschnittsweise definierten Funktion ist der Ausdruck nach dem `?` der ersten wahre Bedingung. Trifft keine Bedingung zu, wird der Ausdruck nach dem letzten `?` ohne vorangestellte Bedingung zurückgegeben. Beispiel: `piecewise { x=0 ? 0, x=1 ? x+1, ? x**2 }`

- `{ }` : Damit werden &MathML;-Container definiert, die hauptsächlich bei abschnittsweise definierten Bedingungen verwendet werden.

- `= > >= < <=` : Vergleichsoperatoren für gleich, größer, größer oder gleich, kleiner und kleiner oder gleich.

Mit diese &MathML;-ähnlichen Syntax kann mit Funktionen wie `cos()`, `sin()`, jeder beliebigen trigonometrischen Funktion, `sum()` oder `product()` gearbeitet werden. Sie können Funktionen wie `plus()`, `mal()` und jede beliebige Funktion mit Operator verwenden. Auch Boolesche Funktionen sind implementiert, Sie können zum Beispiel mit Ausdrücken wie `or(1,0,0,0,0)` arbeiten.

## Arbeiten mit dem Rechner

&kalgebra;s Rechner hat erweiterten Fähigkeiten. Es können Ausdrücke im Modus Berechnen oder Auswerten eingeben werden, je nach Auswahl im Menü Rechner.

Im Auswertungsmodus vereinfacht &kalgebra; Ausdrücke, auch wenn sie eine nicht definierte Variable enthalten. Im Berechnungsmodus wird alles berechnet und bei einer nicht definierte Variablen eine Fehlermeldung angezeigt.

Zusätzlich zur Anzeige der vom Benutzer eingegebenen Ausdrücke und deren Ergebnissen in der Karteikarte Rechner werden alle deklarierten Variablen in einer Liste rechts angezeigt. Durch Doppelklicken auf eine Variable in der Liste öffnen Sie einen Dialog, in dem Sie den Wert der Variablen ändern oder Sie entfernen können.

`ans` ist eine besondere Variable, sie enthält immer das Ergebnis der Auswertung des zuletzt eingegeben Ausdrucks.

Als Beispiel folgen einige Funktionen, die in das Eingabefeld der Karteikarte Rechner eingetragen werden können:

- `sin(pi)`

- `k:=33`

- `sum(k*x : x=0..10)`

- `f:=p->p*k`

- `f(pi)`

Das folgende Bildschirmfoto zeigt die Karteikarte Rechner nach der Eingabe der oben genannten Beispiel-Ausdrücke:

Bildschirmfoto des &kalgebra;-Rechners mit den Beispiel-Ausdrücken &kalgebra;-Karteikarte Rechner

Mit den Aktionen für Skripte im Menü Rechner kann die Ausführung einer Folge von Berechnungen gesteuert werden:

&Ctrl; L Rechner Skript laden

- Führt alle Anweisungen in der Skriptdatei nacheinander aus. Damit können Sie zum Beispiel mathematische Funktionen aus Bibliotheken oder Ihre vorher erstellte Arbeit wieder laden.

Rechner Zuletzt geöffnete Skripte

- Zeigt eine Untermenü zur Auswahl der zuletzt geöffneten Skripte an.

&Ctrl; G Rechner Skript speichern

- Speichert alle Anweisungen, die seit Beginn der Sitzung eingegeben wurden, in eine Datei. Diese Textdatei kann dann zum Beispiel mit einem Editor wie &kate; korrigiert oder bearbeitet werden.

&Ctrl; S Rechner Protokoll speichern

- Speichert das Protokoll mit allen Ergebnissen in einer &HTML;-Datei, um sie ausdrucken oder weiterzugeben.

F3 Rechner ANS einfügen ...

- Fügt die Variable `ANS` ein, damit können vorher berechnete Werte wiederverwendet werden.

Rechner Berechnen

- Setzt den Ausführungsmodus auf Berechnen.

Rechner Auswerten

- Setzt den Ausführungsmodus auf Auswerten.

## 2D-Graphen

Um einen neuen 2D-Graphen in &kalgebra; einzugeben, wechseln Sie zur Karteikarte 2D-Graph. Klicken Sie dann auf den Karteireiter Hinzufügen und geben Sie im Textfeld oben die neue Funktion ein.

### Syntax

Eine Funktion des Typs `f(x)` können Sie direkt so eingeben. Für Funktionen des Typs `f(y)` oder für polare Funktionen müssen Sie `y->` und `q->` als die gebundenen Variablen hinzufügen.

Beispiele:

- `sin(x)`

- `x²`

- `y->sin(y)`

- `q->3*sin(7*q)`

- `t->vector{sin t, t**2}`

Wenn Sie eine Funktion eingegeben haben, klicken Sie auf den Knopf OK, um den Graphen der Funktion auf der Karteikarte anzuzeigen.

### Eigenschaften

Mehrere Graphen können in derselben Ansicht angezeigt werden. Wechseln Sie dazu auf die Karteikarte Hinzufügen. Jeder Graph kann in einer eigenen Farbe dargestellt werden.

Die Ansicht kann mit dem Mausrad vergrößert oder verkleinert werden. Mit der &LMBn; können Sie Bereiche in der Ansicht zur Vergrößerung auswählen. Mit den Pfeiltasten kann die Ansicht verschoben werden.

Das Darstellungsfeld für einen 2D-Graph kann auf der Karteikarte Darstellungsfeld definiert werden.

Auf der Karteikarte Liste können Sie unten rechts mit Doppelklick auf eine Funktion die Karteikarte Bearbeiten öffnen. Dort kann die Funktion geändert werden. Verwenden Sie das Ankreuzfeld links neben dem Funktionsnamen, um die Anzeige der Funktion ein- und auszuschalten.

Im Menü 2D-Graph sind diese Einträge vorhanden:

- Gitter: Zeigt die Gitternetzlinien an oder blendet sie aus

- Seitenverhältnis beibehalten: Seitenverhältnis bei Größenänderung beibehalten

- Speichern: Den Graphen als Bilddatei speichern (&Ctrl; S)

- Vergrößern/Verkleinern: Vergrößern (&Ctrl; +) und Verkleinern (&Ctrl; -) der Ansicht

- Originalgröße: Ansicht wieder auf die Originalgröße zurücksetzen

- Auflösung: Auflösung des Graphen auswählen

Das folgende Bildschirmfoto zeigt die Funktion `sin(1/x)` mit dem Cursor an der rechten Nullstelle der Funktion. Es wird eine sehr hohe Auflösung zur Anzeige verwendet, da die Funktion mit immer höherer Frequenz in der Nähe des Koordinatenursprungs schwingt. Folgen Sie mit dem Cursor dem Verlauf der Funktion, dann wird für jeden Punkt der `x`- und `y`-Wert der Funktion links unten angezeigt und diese Anzeige laufend aktualisiert. Gleichzeitig wird die Tangente der Funktion am aktuellen Schnittpunkt mit dem Cursor gezeichnet.

Hier sehen Sie ein Bildschirmfoto von der &kalgebra;-Karteikarte „2D-Graph“ &kalgebra;-Karteikarte „2D-Graph“

## 3D-Graphen

Wechseln Sie zur Karteikarte 3D-Graph und geben Sie im Textfeld unten eine Funktion ein. Zurzeit kann noch kein Funktionswert für die `Z`-Achse eingegeben werden. &kalgebra; erlaubt nur 3D-Funktionen abhängig von `x` und `y`, wie `(x,y)->x*y`, dabei ist `z=x*y`.

Beispiele:

- `(x,y)->sin(x)*sin(y)`

- `(x,y)->x/y`

Die Ansicht kann mit dem Mauszeiger verschoben und mit dem Mausrad vergrößert oder verkleinert werden. Mit der &LMBn; können Bereiche in der Ansicht zur Vergrößerung ausgewählt werden.

Die Tasten &Left; und &Right; drehen die Grafik um die senkrechte `z`-Achse, die Tasten &Up; und &Down; drehen die Grafik um die horizontale Achse der Ansicht. Drücken Sie die Taste W zum Vergrößern und die Taste S zum Verkleinern der Ansicht.

Im Menü 3D-Graph sind diese Einträge vorhanden:

- Speichern: Den Graphen als Bilddatei oder unterstütztes Dokument speichern (&Ctrl; S)

- Ansicht zurücksetzen: Ansicht wieder auf die Originalgröße in der Karteikarte 3D-Graph zurücksetzen

- Anzeige der Grafik als Gitternetz aus Punkten, Linien oder als gefüllte Fläche mit einem Liniengitter in der Karteikarte 3D-Graph.

Hier sehen Sie ein Bildschirmfoto der sogenannten Sombrero-Funktion, die 3D-Grafik wird im Liniengitter-Stil angezeigt.

Hier sehen Sie ein Bildschirmfoto von der &kalgebra;-Karteikarte „3D-Graph“ &kalgebra;-Karteikarte „3D-Graph“

## Funktionen

Auf der Karteikarte Funktionen finden Sie eine Liste aller in &kalgebra; verfügbaren Funktionen. Wählen Sie eine Funktion aus der Liste oder im Suchfeld, dann wird die Beschreibung, die Parameter und ein Beispiel dieser Funktion mit dem Graphen links angezeigt.

Hier sehen Sie ein Bildschirmfoto der &kalgebra;-Karteikarte „Funktionen“ mit der Anzeige der Cosinus-Funktion.

Hier sehen Sie ein Bildschirmfoto von der &kalgebra;-Karteikarte „Funktionen“ &kalgebra;-Karteikarte „Funktionen“
&commands;

## Danksagungen und Lizenz

- Program copyright 2005-2009 &Aleix.Pol;

Dokumentation Copyright 2007 &Aleix.Pol; &Aleix.Pol.mail;

Übersetzung Burkhard Lücklueck@hube-lueck.de

&underFDL; &underGPL;
&documentation.index;